Question

如圖，設(shè)S-ABCD是一個高為3的四棱錐，底面ABCD是邊長為2的正方形，頂點S在底面上的射影是正方形ABCD的中心．K是棱SC的中點．試求直線AK與平面SBC所成角的大�。�

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間角

分析：法1：設(shè)AK與平面SBC所成角為θ，利用余弦定理求出AK，利用等面積求出A到平面SBC的距離，即可求直線AK與平面SBC所成角的大小．
法2：AC∩BD=O，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x軸，OB為y軸，OS為z軸建立空間坐標(biāo)系．求出平面SBC的一個法向量，

AK

=(-

3 2

2

，0，

3

2

)，利用向量的夾角公式，可求直線AK與平面SBC所成角的大小．

解答： 解：（理）法1：設(shè)AK與平面SBC所成角為θ．
因為SC=

32+( 2 )2

=

11

，…（2分）
所以CK=

11

2

．
所以cos∠SCA=

22

11

．…（4分）
所以AK2=AC2+CK2-2AC•CKcos∠SCA=

27

4

．所以AK=

3 3

2

．…（6分）
因為VS-ABC=

1

3

×

1

2

×2×2×3=2=VA-SCB，…（8分）
所以h=

6

S△SBC

=

3 10

5

，…（10分）
因此sinθ=

h

AK

=

2 30

15

…（11分）
則θ=arcsin

2 30

15

…（12分）
解法2：AC∩BD=O，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x軸，OB為y軸，OS為z軸建立空間坐標(biāo)系．則A(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，C(-

2

，0，0)，S(0，0，3)．…（4分）
所以

SB

=(0，

2

，-3)，

SC

=(-

2

，0，-3)，K(-

2

2

，0，

3

2

)．…（6分）
設(shè)

m

是平面SBC的一個法向量，易求得

m

=(-

3

2

，

3

2

，1)．…（8分）
設(shè)θ為AK與平面SBC所成的角，
因為

AK

=(-

3 2

2

，0，

3

2

)．…（10分）
所以：sinθ=|

m • AK

| m |•| AK |

|=

2 30

15

．…（11分）
所以θ=arcsin

2 30

15

…（12分）

點評：本題考查直線與平面所成的角，考查等體積，考查向量方法的運用，確定向量的坐標(biāo)是關(guān)鍵．