Question

如圖，在多面體ABCDPQ中，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，DQ∥AP，AP=AD=2DQ=2，
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求平面PAB與平面PCQ所成銳二面角的余弦值；
（3）若E為PB中點，點F在線段CQ上，當平面AEF⊥平面PAB時，求CF的長．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明PA⊥BD，BD⊥AC，利用線面垂直的判定定理證明BD⊥平面PAC；
（2）建立坐標系，求出平面PAB的法向量、平面PCQ的法向量，利用向量的夾角公式求平面PAB與平面PCQ所成銳二面角的余弦值；
（3）設(shè)F（

3

（1-m），m+1，m），求出平面AEF的法向量，從而求出F的坐標，即可求出CF的長．

解答： （1）證明：∵PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵底面ABCD為菱形，
∴BD⊥AC，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC；
（2）解：建立如圖所示的坐標系，則A（0，0，0），P（0，0，2），B（

3

，-1，0），C（

3

，1，0），Q（0，2，1）
∴

AP

=（0，0，2），

AB

=（

3

，-1，0），
設(shè)平面PAB的法向量為

m

=（x，y，z），則

2z=0 3 x-y=0

，取

m

=（1，

3

，0），
同理可得平面PCQ的法向量為

n

=（

3

，1，2），
∴平面PAB與平面PCQ所成銳二面角的余弦值為

2 3

1+3 • 3+1+4

=

6

4

；
（3）解：設(shè)F（

3

（1-m），m+1，m），
∵E（

3

2

，-

1

2

，1），
∴

AE

=（

3

2

，-

1

2

，1），

AF

=（

3

（1-m），m+1，m），
設(shè)平面AEF的法向量為（a，b，1），則當平面AEF⊥平面PAB時，

a+ 3 b=0 3 2 a- 1 2 b+1=0

，
∴a=-

3

2

，b=

1

2

，
∴平面AEF的法向量為（-

3

2

，

1

2

，1），
∴（-

3

2

）×

3

（1-m）+

1

2

（m+1）+m=0，
∴m=

1

3

，
∴F（

2 3

3

，

4

3

，

1

3

），
∴

CF

=（-

3

3

，

1

3

，

1

3

），
∴|

CF

|=

5

3

．

點評：本題考查線面垂直，考查二面角的平面角，考查平面與平面垂直，考查學生分析解決問題的能力，有難度．