Question

3．已知向量$\overrightarrow a$=（4，3），$\overrightarrow b$=（1，-1）．
（1）求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的余弦值；
（2）若向量3$\overrightarrow a$+4$\overrightarrow b$與λ$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$平行，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量夾角公式即可得出．
（2）利用向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、向量共線定理即可得出．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，則$cosθ=\frac{4×1+3×（-1）}{{\sqrt{{4^2}+{3^2}}\sqrt{{1^2}+{{（-1）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
（2）∵$\overrightarrow a$=（4，3），$\overrightarrow b$=（1，-1）．
∴$3\overrightarrow a+4\overrightarrow b=（12，9）+（4，-4）=（16，5）$，$λ\overrightarrow a-\overrightarrow b=（4λ，3λ）-（1，-1）=（4λ-1，3λ+1）$，
∵向量$3\overrightarrow a+4\overrightarrow b$與$λ\overrightarrow a-\overrightarrow b$平行，
∴16（3λ+1）=5（4λ-1）．
解得$λ=-\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量夾角公式、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．