【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx,g(x)=2x﹣1.
(1)當(dāng)a=1時,若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象上方,試求實數(shù)b 的取值范圍;
(2)若y=f(x)對任意的x∈R均有f(x﹣2)=f(﹣x)成立,且f(x)的圖象經(jīng)過 點A(1, ).
①求函數(shù)y=f(x)的解析式;
②若對任意x<﹣3,都有2k <g(x)成立,試求實數(shù)k的最小值.
【答案】
(1)解:a=1時,若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象上方,
則x2+bx>2x﹣1,即x2+(b﹣2)x+1>0恒成立,
即△=(b﹣2)2﹣4<0,
解得:b∈(0,4)
(2)解:①若y=f(x)對任意的x∈R均有f(x﹣2)=f(﹣x)成立,且f(x)的圖象經(jīng)過點A(1, ).
則 ,解得: ,
∴y=f(x)= x2+ x,
②若對任意x<﹣3,都有2k <g(x)成立,
則對任意x<﹣3,都有2k( x+ )<2x﹣1成立,
則對任意x<﹣3,都有k> = ﹣ 成立,
由x<﹣3時, ﹣ ∈( , ),
∴k≥ ,
故實數(shù)k的最小值為
【解析】(1)當(dāng)a=1時,若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象上方,則x2+bx>2x﹣1,即x2+(b﹣2)x+1>0恒成立,即△=(b﹣2)2﹣4<0,解得實數(shù)b 的取值范圍;(2)①若y=f(x)對任意的x∈R均有f(x﹣2)=f(﹣x)成立,且f(x)的圖象經(jīng)過 點A(1, ).則 ,解得:a,b的值,可得函數(shù)y=f(x)的解析式;②若對任意x<﹣3,都有2k <g(x)成立,則對任意x<﹣3,都有k> = ﹣ 成立,進(jìn)而可得實數(shù)k的最小值.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握當(dāng)時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ ﹣4,g(x)=kx+3.
(1)當(dāng)a=k=1時,求函數(shù)y=f(x)+g(x)的單調(diào)遞增與單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)當(dāng)a∈[3,4]時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,m]上的最大值為f(m),試求實數(shù)m的取值范圍;
(3)當(dāng)a∈[1,2]時,若不等式|f(x1)|﹣|f(x2)|<g(x1)﹣g(x2)對任意x1 , x2∈[2,4](x1<x2)恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的方程的三個實根分別為一個橢圓,一個拋物線,一個雙曲線的離心率,則的取值范圍( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】濟南市開展支教活動,有五名教師被隨機的分到A、B、C三個不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué),且每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)至少一名教師,
(1)求甲乙兩名教師同時分到一個中學(xué)的概率;
(2)求A中學(xué)分到兩名教師的概率;
(3)設(shè)隨機變量X為這五名教師分到A中學(xué)的人數(shù),求X的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線: ,焦點, 為坐標(biāo)原點,直線(不垂直軸)過點且與拋物線交于兩點,直線與的斜率之積為.
(1)求拋物線的方程;
(2)若為線段的中點,射線交拋物線于點,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E是BC的中點,F(xiàn)是棱CD上的動點,G為C1D1的中點,H為A1G的中點.
(1)當(dāng)點F與點D重合時,求證:EF⊥AH;
(2)設(shè)二面角C1﹣EF﹣C的大小為θ,試確定點F的位置,使得sin θ= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽,其中兩人比賽另一個人當(dāng)裁判,設(shè)每周比賽結(jié)束時,負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判,假設(shè)每局比賽中甲勝乙的概率為,甲勝丙,乙勝丙的概率都是,各局的比賽相互獨立,第一局甲當(dāng)裁判.
(1)求第三局甲當(dāng)裁判的概率;
(2)記前四次中乙當(dāng)裁判的次數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= (其中常數(shù)a>0,且a≠1).
(1)當(dāng)a=10時,解關(guān)于x的方程f(x)=m(其中常數(shù)m>2 );
(2)若函數(shù)f(x)在(﹣∞,2]上的最小值是一個與a無關(guān)的常數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)= 為奇函數(shù),a為常數(shù).
(1)求a的值;并判斷f(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性;
(2)若對于區(qū)間(3,4)上的每一個x的值,不等式f(x)> 恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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