Question

11．證明下列命題：
（1）若實數(shù)a≥2，則$\sqrt{a+1}-\sqrt{a}＜\sqrt{a-1}-\sqrt{a-2}$；
（2）若a，b為兩個不相等的正數(shù)，且a+b=1，則$\frac{1}{a}+\frac{1}＞4$．

Answer 1

分析 （1）由a≥2，分子有理化求得$\sqrt{a+1}$-$\sqrt{a}$=$\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$，$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-2}$=$\frac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a-2}}$，利用不等式的性質(zhì)，即可得證；
（2）利用“1”代換，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（a+b）×（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$），展開利用基本不等式的性質(zhì)可知求得則$\frac{1}{a}+\frac{1}＞4$．

解答 證明：（1）由a≥2，$\sqrt{a+1}$-$\sqrt{a}$=$\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$，
$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-2}$=$\frac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a-2}}$，
$\sqrt{a}$＞$\sqrt{a-2}$≥0，$\sqrt{a+1}$＞$\sqrt{a-1}$＞0，
兩式相加可得：$\sqrt{a}$+$\sqrt{a+1}$＞$\sqrt{a-1}$+$\sqrt{a-2}$＞0，
∴$\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$＜$\frac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a-2}}$，
∴$\sqrt{a+1}-\sqrt{a}＜\sqrt{a-1}-\sqrt{a-2}$；
（2）$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（a+b）×（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$＞2+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=4，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}＞4$．

點評 本題考查不等式的證明，考查不等式的性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中檔題．