已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為
3
2
，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍；
（3）過原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PQSR的一邊距離為d，試求d=1時(shí)a，b滿足的條件．
（1）由題意可得
2a=4
e=
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
，解得a2=4，b2=1，c=
3
．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+y2=1；
（2）直線l的方程為y=kx+2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立
y=kx+2
x2+4y2=4
，化為（1+4k2）x2+16kx+12=0，由△=162k2-48（1+4k2）＞0，解得k＞
3
2
或k＜-
3
2
．∴x1+x2=
-16k
1+4k2
，x1x2=
12
1+4k2
．
若∠AOB為銳角，則
OA
•
OB
＞0，得x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，代入得
12(1+k2)
1+4k2
+
-32k2
1+4k2
+4＞0，化為k2＜4，解得-2＜k＜2．∴直線l的斜率k的取值范圍為{x|-2＜k＜2}∩{x|k＜-
3
2
或k＞
3
2
}={k|-2＜k＜-
3
2
或
3
2
＜x＜2}．
（3）如圖所示，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），S（-x1，-y1），R（-x2，-y2）．
①當(dāng)直線PS與QR的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線PS：y=kx，則直線QR：y=-
1
k
x．
聯(lián)立
y=kx
b2x2+a2y2=a2b2
，解得
x21
=
a2b2
b2+a2k2
．（*）
聯(lián)立
y=-
1
k
x
b2x2+a2y2=a2b2
，解得
x22
=
a2b2k2
a2+b2k2
．（**）
直線PR的斜率存在時(shí)，則直線PR：y-y1=
y2-y1
x2-x1
(x-x1)，化為（y2-y1）x+（x1-x2）y+x2y1-x1y2=0．
∵d=1，∴
|x2y1-x1y2|
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=1，
代入化為：(k+
1
k
)2
x21
x22
=k2
x21
+
1
k2
x22
+
x21
+
x22
．
把（*）（**）代入上式：
(k2+1)2
k2
•
a4b4k2
(a2+b2k2)(b2+a2k2)
=
a2b2k2
b2+a2k2
+
a2b2
a2+b2k2
+
a2b2
b2+a2k2
+
a2b2k2
a2+b2k2
．
化為a2b2=a2+b2．
即
1
a2
+
1
b2
=1為定值．
②當(dāng)直線PS與QR的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，直線PR的斜率不存在時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證上式也成立．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知定點(diǎn)F（2，0），動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F且與直線x=-2相切，記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l與軌跡C交于A（x1，y1）、B（x1，y2）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為軌跡C上一點(diǎn)，若向量
OM
=
OA
+λ
OB
，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A、B．點(diǎn)P雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn)，直線AP、BP與橢圓C1分別交于C、D點(diǎn)．若△ACD與△PCD的面積相等．
（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）能否使直線CD過橢圓C1的右焦點(diǎn)，若能，求出此時(shí)雙曲線C2的離心率，若不能，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），離心率為
2
2
．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如果橢圓
x2
36
+
y2
9
=1的弦被點(diǎn)（2，2）平分，那么這條弦所在的直線的方程是（　　）
A．x+4y=0B．x+4y-10=0C．x+4y-6=0D．x-4y-10=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，過右焦點(diǎn)F且斜率為
2
的直線l交橢圓E于兩點(diǎn)A，B，若以原點(diǎn)為圓心，
6
3
為半徑的圓與直線l相切
（1）求焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OACB中，頂點(diǎn)C也在橢圓E上，求橢圓E的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)x，y∈R，
i
，
j
為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸y軸正方向上的單位向量，若
a
=x
i
+（y+2）
j
，
b
=x
i
+（y-2）
j
，且|
a
|+|
b
|=8
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C上兩點(diǎn)AB，滿足（1）直線AB過點(diǎn)（0，3），（2）若
OP
=
OA
+
OB
，則OAPB為矩形，試求AB方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線C1：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，C1與C2在第一象限的交點(diǎn)為P（
3
，
1
2
）
（1）求拋物線C1及橢圓C2的方程；
（2）已知直線l：y=kx+t（k≠0，t＞0）與橢圓C2交于不同兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)M滿足
AM
+
BM
=
0
，直線FM的斜率為k1，試證明k•k1＞
-1
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線W的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，過點(diǎn)F作x軸的垂線與W交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在第一象限，|AB|=8，過點(diǎn)B作直線BC與x軸交于點(diǎn)T（t，0）（t＞2），與拋物線交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線W的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若t=6，曲線G：x2+y2-2ax-4y+a2=0與直線BC有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若|OB|2+|OC|2≤|BC|2，求△ABC的面積的最大值．

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同步練習(xí)冊答案