【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,且cos2B﹣cos2A=2sinC(sinA﹣sinC).
(1)求角B的大;
(2)若 ,求2a+c的取值范圍.
【答案】
(1)解:由cos2B﹣cos2A=2sinC(sinA﹣sinC),可得sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinC.
根據(jù)正弦定理得a2+c2﹣b2=ac,
由余弦定理,得 ,∵0<B<π,∴
(2)解:由(1)得:2R= ,
2a+c=2R(2sinA+sinC)=2[2sinA+sin( )]=5sinA+ cosA=2 sin(A+φ)
其中,sinφ= ,cosφ= ,
∵A ),∴ ,
∴當(dāng) 時(shí), ,
當(dāng) 時(shí), ,
當(dāng)A+φ=φ時(shí), .所以2 sin(A+φ)∈( ,2 ].
即
【解析】(1)由已知可得sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinC.即a2+c2﹣b2=ac, ,可得 .(2)2a+c=2R(2sinA+sinC)=5sinA+ cosA=2 sin(A+φ)其中,sinφ= ,cosφ= , 由 ,得2 sin(A+φ)∈( ,2 ].即
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩人各有個(gè)材質(zhì)、大小、形狀完全相同的小球,甲的小球上面標(biāo)有五個(gè)數(shù)字,乙的小球上面標(biāo)有五個(gè)數(shù)字.把各自的小球放入兩個(gè)不透明的口袋中,兩人同時(shí)從各自的口袋中隨機(jī)摸出個(gè)小球.規(guī)定:若甲摸出的小球上的數(shù)字是乙摸出的小球上的數(shù)字的整數(shù)倍,則甲獲勝,否則乙獲勝.
(1)寫出基本事件空間;
(2)你認(rèn)為“規(guī)定”對甲、乙二人公平嗎?說出你的理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=e2x+ln(x+a).
(1)當(dāng)a=1時(shí),①求f(x)在(0,1)處的切線方程;②當(dāng)x≥0時(shí),求證:f(x)≥(x+1)2+x.
(2)若存在x0∈[0,+∞),使得 成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年3月14日,“共享單車”終于來到蕪湖,共享單車又被親切稱作“小黃車”是全球第一個(gè)無樁共享單車平臺,開創(chuàng)了首個(gè)“單車共享”模式.相關(guān)部門準(zhǔn)備對該項(xiàng)目進(jìn)行考核,考核的硬性指標(biāo)是:市民對該項(xiàng)目的滿意指數(shù)不低于,否則該項(xiàng)目需進(jìn)行整改,該部門為了了解市民對該項(xiàng)目的滿意程度,隨機(jī)訪問了使用共享單車的名市民,并根據(jù)這名市民對該項(xiàng)目滿意程度的評分(滿分分),繪制了如下頻率分布直方圖:
(I)為了了解部分市民對“共享單車”評分較低的原因,該部門從評分低于分的市民中隨機(jī)抽取人進(jìn)行座談,求這人評分恰好都在的概率;
(II)根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識,判斷該項(xiàng)目能否通過考核,并說明理由.
(注:滿意指數(shù)=)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓()的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,已知,其中 為原點(diǎn), 為橢圓的離心率.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)(不在軸上),垂直于的直線與交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),若,且,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】棉花的纖維長度是評價(jià)棉花質(zhì)量的重要指標(biāo),某農(nóng)科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實(shí)驗(yàn)地分別種植某品種的棉花,為了評價(jià)該品種的棉花質(zhì)量,在棉花成熟后,分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機(jī)抽取20根棉花纖維進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:(記纖維長度不低于300mm的為“長纖維”,其余為“短纖維”)
纖維長度 | (0,100) | [100,200) | [200,300) | [300,400) | [400,500] |
甲地(根數(shù)) | 3 | 4 | 4 | 5 | 4 |
乙地(根數(shù)) | 1 | 1 | 2 | 10 | 6 |
(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),填寫下面2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.
甲地 | 乙地 | 總計(jì) | |
長纖維 | |||
短纖維 | |||
總計(jì) |
附:(1) ;(2)臨界值表;
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)現(xiàn)從上述40根纖維中,按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進(jìn)行檢測,在這8根纖維中,記乙地“短纖維”的根數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市醫(yī)療保險(xiǎn)實(shí)行定點(diǎn)醫(yī)療制度,按照“就近就醫(yī)、方便管理” 的原則,規(guī)定參加保險(xiǎn)人員可自主選擇四家醫(yī)療保險(xiǎn)定點(diǎn)醫(yī)院和一家社區(qū)醫(yī)院作為就診的醫(yī)療機(jī)構(gòu).若甲、乙、丙、丁4名參加保險(xiǎn)人員所在地區(qū)附近有三家社區(qū)醫(yī)院,并且他們的選擇是等可能的、相互獨(dú)立的.
(1)求甲、乙兩人都選擇社區(qū)醫(yī)院的概率;
(2)求甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率;
(3)設(shè)在4名參加保險(xiǎn)人員中選擇社區(qū)醫(yī)院的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過動點(diǎn)P作圓:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的切線PQ,其中Q為切點(diǎn),若|PQ|=|PO|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則|PQ|的最小值是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=pe﹣x+x+1(p∈R). (Ⅰ)當(dāng)實(shí)數(shù)p=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)p=1時(shí),若直線y=mx+1與曲線y=f(x)沒有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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