【題目】棉花的纖維長度是評價棉花質(zhì)量的重要指標,某農(nóng)科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實驗地分別種植某品種的棉花,為了評價該品種的棉花質(zhì)量,在棉花成熟后,分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機抽取20根棉花纖維進行統(tǒng)計,結(jié)果如下表:(記纖維長度不低于300mm的為“長纖維”,其余為“短纖維”)

纖維長度

(0,100)

[100,200)

[200,300)

[300,400)

[400,500]

甲地(根數(shù))

3

4

4

5

4

乙地(根數(shù))

1

1

2

10

6


(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù),填寫下面2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.025的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.

甲地

乙地

總計

長纖維

短纖維

總計

附:(1) ;(2)臨界值表;

P(K2≥k0

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828


(2)現(xiàn)從上述40根纖維中,按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進行檢測,在這8根纖維中,記乙地“短纖維”的根數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】
(1)9;16;25;11;4;15;20;20;40
(2)由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數(shù)為 ,X的可能取值為:0,1,2,3, , ,

∴X的分布列為:

X

0

1

2

3

P


【解析】解:(Ⅰ)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表:

甲地

乙地

總計

長纖維

9

16

25

短纖維

11

4

15

總計

20

20

40

根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),可得
所以,在犯錯誤概率不超過0.025的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.
【考點精析】掌握離散型隨機變量及其分布列是解答本題的根本,需要知道在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中,對于隨機變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.離散型隨機變量的分布列:一般的,設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布,簡稱分布列.

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