Question

10．設(shè)方程x²+px+q=0的兩根是tanθ和tan（$\frac{π}{4}$-θ）．且方程的這兩個(gè)根之比為3：2，求p和q的值．

Answer 1

分析 由tanθ和tan（$\frac{π}{4}$-θ）是方程x²+px+q=0的兩個(gè)根，且這兩個(gè)根之比為3：2列式求出tanθ，進(jìn)一步求得tan（$\frac{π}{4}$-θ），再由根與系數(shù)的關(guān)系求得p和q的值．

解答 解：∵tanθ和tan（$\frac{π}{4}$-θ）是方程x²+px+q=0的兩個(gè)根，且這兩個(gè)根之比為3：2，
得$\frac{tanθ}{tan（\frac{π}{4}-θ）}=\frac{tanθ}{\frac{1-tanθ}{1+tanθ}}=\frac{3}{2}$，解得：tanθ=-3或tan$θ=\frac{1}{2}$，
則tan（$\frac{π}{4}$-θ）=-2或tan（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{1}{3}$．
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：p=5，q=6或p=-$\frac{5}{6}，q=\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生運(yùn)用兩角和與差的正切函數(shù)的能力，以及利用一元二次方程的根的分布與系數(shù)關(guān)系的能力，是中檔題．