Question

【題目】如圖，已知圓的方程為，圓的方程為，若動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（2）過(guò)直線(xiàn)上的點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)分別是，，若直線(xiàn)與軌跡交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

根據(jù)已知條件動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切，即可得到其軌跡為橢圓，從而求出結(jié)果

設(shè)的坐標(biāo)是，切點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，求出切線(xiàn)方程，繼而得到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的方程是，討論當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)的取值范圍

（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，∵動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切，

∴，且.

于是，，所以動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.從而，，所以.

故動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為．

（2）設(shè)直線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是，切點(diǎn)坐標(biāo)分別是，；則經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)斜率，方程是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程是，又兩條切線(xiàn)，相交于 .

則有，所以經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的方程是，

①當(dāng)時(shí)，有，，，，則，，

所以；

②當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，整理得；

設(shè)坐標(biāo)分別為，，則，

所以，故，

所以.令，則，則，

又令，則，，令，

令，解可得，故在上單調(diào)遞增，且有，而，所以；

綜合①，②可得，所以的取值范圍為．