Question

3．在△ABC中，M，N，P分別是AB，BC，CA邊上靠近A，B，C的三等分點，O是△ABC平面上的任意一點，若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，則$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$+$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{{e}_{1}}$$-\frac{1}{2}\overrightarrow{{e}_{2}}$．

Answer 1

分析 根據條件可得到BA=3MA，CB=3NB，AC=3PC，從而有$\overrightarrow{BA}=3\overrightarrow{MA}$，這樣便可得到$\overrightarrow{OM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$，從而同理可得到$\overrightarrow{ON}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$，這樣進行向量的加法和數乘運算便可得出$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}$．

解答 解：如圖，M為AB的三等分點，且M靠近A；
∴$\overrightarrow{BA}=3\overrightarrow{MA}$；
∴$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=3（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}）$；
∴$\overrightarrow{OM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$；
同理，$\overrightarrow{ON}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$；
∴$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{{e}_{1}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{{e}_{2}}$．
故答案為：$\frac{1}{3}\overrightarrow{{e}_{1}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{{e}_{2}}$．

點評 考查共線向量基本定理，向量減法、數乘的幾何意義，以及向量的數乘運算．