Question

已知函數(shù)f（x）=

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3

x³-ax²+x+1在（-∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系

專題：導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)，得出x∈（-∞，0）時，f′（x）≥0，由此列出不等式求出a的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

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3

x³-ax²+x+1，
∴f′（x）=x²-2ax+1；
又∵f（x）在（-∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴x∈（-∞，0）時，f′（x）≥0，
即x∈（-∞，0）時，x²-2ax+1≥0；
∴2ax≤x²+1，
∴2a≥x+

1

x

；
又∵x∈（-∞，0），
∴-x∈（0，+∞）；
∴-x-

1

x

≥2，當且僅當x=-1時“=”成立；
∴x+

1

x

≤-2，
即2a≥-2，∴a≥-1；
即實數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞）．

點評：本題考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了不等式的解法與應用問題，是綜合性題目．