Question

【題目】已知一次函數(shù)f(x)為增函數(shù)，且f(f(x))＝4x＋9，g(x)＝mx＋m＋3(m∈R).

(1)當x∈[－1,2]時，若不等式g(x)＞0恒成立，求m的取值范圍；

(2)如果函數(shù)F(x)＝f(x)g(x)為偶函數(shù)，求m的值；

(3)當函數(shù)f(x)和g(x)滿足f(g(x))＝g(f(x))時，求函數(shù)的值域.

Answer 1

【答案】(1)(－1，＋∞)；(2) ；(3) .

【解析】試題分析：

(1)由題意得到關于實數(shù)m的不等式組，求解不等式組可得m的取值范圍是(－1，＋∞)．

(2)首先得到關于的解析式，結合可得；

(3)由題意可得；結合函數(shù)的解析式換元，令，據(jù)此得到關于的二次函數(shù)，結合可得函數(shù)的值域為.

試題解析：

(1)由題意即

解得m＞－1，

∴m的取值范圍是(－1，＋∞)．

(2)設f(x)＝kx＋b(k＞0)，

則由f(f(x))＝4x＋9，

得k2x＋kb＋b＝4x＋9，

∴∴∴f(x)＝2x＋3.

F(x)＝(2x＋3)(mx＋m＋3)，

又F(x)是偶函數(shù)，

∴F(－1)＝F(1)，

即(2m＋3)×5＝3，

∴m＝－.

(3)由f(g(x))＝g(f(x))，可得m＝3，

∴g(x)＝3x＋6，

∴h(x)＝2x＋3＋(x≥－2)，

設t＝，

則t∈[0，＋∞)且x＝(t2－6)，

∴y＝(t2－6)＋3＋t

＝t2＋t－1

＝2－，

∵t∈[0，＋∞)，

∴y∈[－1，＋∞)，

故h(x)值域為[－1，＋∞)．