Question

2．已知函數(shù)f（x）=sinx-xcosx．
（I）討論f（x）在（0，2π）上的單調(diào)性；
（II）若關(guān)于x的方程f（x）-x²+2πx-m=0在（0，2π）有兩個根，求實數(shù)m的取值范圍．
（III）求證：當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f（x）＜$\frac{1}{3}$x³．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=x²-2πx+m=（x-π）²+m-π²，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍即可；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）＜0，從而證出結(jié)論即可．

解答 解：f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，
（Ⅰ）f'（x）＞0⇒x∈（0，π），f'（x）＜0⇒
x∈（π，2π）f（x）的遞增區(qū)間（0，π），遞減區(qū)間（π，2π）；
（II） f（x）=x²-2πx+m，
設(shè)h（x）=x²-2πx+m=（x-π）²+m-π²，
由$\left\{\begin{array}{l}m-{π^2}＜π\(zhòng)\ h（0）=m＞0\end{array}\right.$，解得，0＜m＜π²+π；
（III）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³，
則g′（x）=x（sinx-x），
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，設(shè)t（x）=sinx-x，則t′（x）=cosx-1＜0，
所以t（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞減，t（x）=sinx-x＜t（0）=0，
即sinx＜x，所以g′（x）＜0，
所以g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減，所以g（x）＜g（0）=0，
所以f（x）＜$\frac{1}{3}$x³．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．