Question

函數(shù)f(x)=

1-|x-1|，x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

，則下列說法中正確命題的個數(shù)是（　　）
①函數(shù)y=f（x）-ln（x+1）有3個零點；
②若x＞0時，函數(shù)f（x）≤

k

x

恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是[

3

2

，+∞）；
③函數(shù)f（x）的極大值中一定存在最小值；
④f（x）=2^kf（x+2k），（k∈N），對于一切x∈[0，+∞）恒成立．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)恒成立問題,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：①分別畫出y=f（x）和y=ln（x+1）的圖象，找其交點個數(shù)；②畫出y=

1

x

的圖象，通過k的變化，觀察雙曲線的變化，找出在y=f（x）圖象上方的k值；③通過f（x）的圖象得到；④不完全歸納得到f（x）的解析式．

解答： 解：①先畫出y=1-|x-2|（0≤x≤2）的圖象C，由f（x）=

1

2

f（x-2）（x＞2）得：將C的圖象向右平移2k（k∈N^*）個單位，再將縱坐標(biāo)縮小為

1

2k

（k∈N^*）倍，再畫出y=ln（x+1）的圖象，發(fā)現(xiàn)有2個交點，故①錯；

②畫出y=

k

x

（x＞0）的圖象，觀察k的變化，當(dāng)圖象過點（3，

1

2

）時，圖象恒在y=f（x）的圖象上，此時
k=

3

2

，所以實數(shù)k的取值范圍是[

3

2

，+∞），故②正確；

③由y=f（x）的圖象可知，f（x）的極大值中不存在最小值0，故③錯；
④當(dāng)k=0，0＜X＜2時，f（x）=2⁰f（x）=1-|X-1|；當(dāng)2＜x＜4時，f（x）=

1

2

f（x-2）；
當(dāng)4＜x＜6時，f（x）=

1

4

f（x-4），…，當(dāng)2k＜x＜2k+2時，f（x）=

1

2k

f（x-2k），
即有f（x-2k）=2^kf（x），從而有f（x）=2^kf（x+2k）），（k∈N），
對于一切x∈[0，+∞）恒成立，故④正確．
故選：B．

點評：本題主要考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及函數(shù)的零點、恒成立問題，函數(shù)解析式求法，意在考查運用數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力，是一道中檔題．