Question

已知f(x)=

x2+ax+11

x+1

(a∈R)對任意x∈N^*，f（x）≥3恒成立，則a的最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：將不等式恒成立，進行參數(shù)分類，利用函數(shù)的最值關系即可得到結論．

解答： 解：∵對任意x∈N^*，f（x）≥3恒成立，
∴

x2+ax+11

x+1

≥3，
即x²+ax+11≥3（x+1）恒成立，
∴ax≥-x²+3x-8，
即a≥-x+3-

8

x

對任意x∈N^*恒成立，
設g（x）=-x+3-

8

x

=3-（x+

8

x

）在（0，

8

）上單調遞增，在（

8

，+∞）上單調遞減，
∴g（x）的最大值在x=3或x=2處取得，
∵g（2）=-3，g（3）=-

8

3

＞g（2），
∴g（x）的最大值為，g（3）=-

8

3

，
∴a≥-

8

3

，
即a的最小值為-

8

3

，
故答案為：-

8

3

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉化為求函數(shù)的最值是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力．