Question

13．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁與AC、AB所成角均為60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA₁=1，則A₁B與AC₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，通過補形得到A₁B與AC₁所成角的補角，求其余弦值后可得A₁B與AC₁所成角的余弦值．

解答 解：如圖，
∵AA₁與AC、AB所成角均為60°，AB=AC=AA₁=1，
∴A₁B=1，$A{C}_{1}=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}-2×1×1×cos120°}$=$\sqrt{3}$，
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁下面補上一個完全相同的三棱柱EFG-ABC，
連接C₁F，由題意可得四邊形FB₁C₁G為長方形，且$F{B}_{1}=2，{B}_{1}{C}_{1}=\sqrt{2}$，
∴${C}_{1}F=\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{6}$，
在△AFC₁中，$cos∠FA{C}_{1}=\frac{A{F}^{2}+A{{C}_{1}}^{2}-{C}_{1}{F}^{2}}{2AF•A{C}_{1}}$=$\frac{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{6}）^{2}}{2\sqrt{3}}$=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴A₁B與AC₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查異面直線及其所成的角，考查學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．