Question

2．四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（Ⅰ）在側棱PC上是否存在一點Q，使BQ∥平面PAD？證明你的結論；
（Ⅱ）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （I） 當Q為側棱PC中點時，取PD的中點E，連結AE、EQ，推導出四邊形ABQE為平行四邊形，從而BQ∥AE，由此能證明BQ∥平面PAD．
（Ⅱ）法一：設平面PAD∩平面PBC=l，則BQ∥l，推導出l⊥PD，l⊥PC，則∠DPC就是平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角，由此能求出平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．
法二：建立空間直角坐標系，設PA=AB=AD=1，CD=2，利用向量法能求出平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．

解答 解：（I） 當Q為側棱PC中點時，有BQ∥平面PAD．
證明如下：如圖，取PD的中點E，連結AE、EQ．
∵Q為PC中點，則EQ為△OCD的中位線，
∴EQ∥CD，且EQ=$\frac{1}{2}$CD．
∵AB∥CD，且AB=$\frac{1}{2}$CD，∴EQ∥AB，且EQ=AB，
∴四邊形ABQE為平行四邊形，則BQ∥AE．…（4分）
∵BQ?平面PAD，AE?平面PAD，
∴BQ∥平面PAD．  …（6分）
（Ⅱ）解法一：設平面PAD∩平面PBC=l．
∵BQ∥平面PAD，BQ?平面PBC，∴BQ∥l．
∵BQ⊥平面PCD，∴l(xiāng)⊥平面PCD，∴l(xiāng)⊥PD，l⊥PC．
故∠DPC就是平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角．…（9分）
∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．
設PA=AB=AD=$\frac{1}{2}CD=a$，
則PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}a$，PC=$\sqrt{C{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{6}a$，
故cos$∠DPC=\frac{PD}{PC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分）
解法二：如圖建立空間直角坐標系，設PA=AB=AD=1，CD=2，
則A（0，0，0），B（0，1，0），C（-1，2，0），P（0，0，1），
則$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0）．
設平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．…（9分）
由CD⊥平面PAD，AB∥CD，知AB⊥平面PAD，
∴平面PAD的法向量為$\overrightarrow{AB}=（0，1，0）$．…（10分）
設平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（11分）
∴平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查滿足線面平行的點的位置的確定與證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．