Question

若函數(shù)f（x）=

a

x+ 1 2

+ln（x+

1

2

）-1在x∈[0，e]上有兩個零點．求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：由已知中函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)的導數(shù)函數(shù)，進而分類討論函數(shù)f（x）=

a

x+ 1 2

+ln（x+

1

2

）-1在x∈[0，e]上的單調性，進而分析出函數(shù)f（x）=

a

x+ 1 2

+ln（x+

1

2

）-1在x∈[0，e]上有兩個零點的a的范圍，最后綜合討論結果，可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

a

x+ 1 2

+ln（x+

1

2

）-1，
∴f′(x)=-

a

(x+ 1 2 )2

+

1

x+ 1 2

=

x+ 1 2 -a

(x+ 1 2 )2

…（3分）
①當a≤

1

2

時，f′(x)=

x+ 1 2 -a

(x+ 1 2 )2

＞0對于x∈[0，e]恒成立，
即函數(shù)f（x）在x∈[0，e]上為增函數(shù)，所以不合題意；…．（5分）
②當

1

2

＜a≤e+

1

2

時，令f′(x)=

x+ 1 2 -a

(x+ 1 2 )2

=0，得x=a-

1

2

，
當0＜x＜a-

1

2

時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
當x＞a-

1

2

時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
所以當x=a-

1

2

時，函數(shù)f（x）（x∈（0，+∞）取到最小值，
所以要使函數(shù)f（x）在x∈[0，e]上有兩個零點，
則

0＜a- 1 2 ＜e f(0)=2a+ln 1 2 -1≥0 f(e)= a e+ 1 2 +ln(e+ 1 2 )-1≥0 f(a- 1 2 )=1+lna-1＜0

，解得

1+ln2

2

≤a＜1…（9分）
③當a＞e+

1

2

時，f'（x）＜0對于x∈[0，e]恒成立，
即函數(shù)f（x）在x∈[0，e]上為減函數(shù)，
所以不滿足題意．…（11分）
綜上可知：a的取值范圍是[

1+ln2

2

，1)…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的零點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，利用導數(shù)求函數(shù)的極值，是函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，難度中檔．