Question

9．已知點(diǎn)$F（\frac{1}{2}，0）$及直線$l：x=-\frac{1}{2}$．P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過P作直線l的垂線，垂足為Q，且$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)圓M過點(diǎn)A（1，0）且圓心M在P的軌跡C上，E₁，E₂是圓M在y軸上截得的弦，證明弦長|E₁E₂|是一個(gè)常數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則Q的坐標(biāo)為$（{-\frac{1}{2}，y}）$，求得向量QP，QF，F(xiàn)P，F(xiàn)Q的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡即可得到所求軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（a，b）為圓M的圓心，則b²=2a，求得圓的方程，令x=0，解得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可得到所求定值2．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則Q的坐標(biāo)為$（{-\frac{1}{2}，y}）$，
因此$\overrightarrow{QP}=（{x+\frac{1}{2}，0}），\overrightarrow{QF}=（{1，-y}）$，
$\overrightarrow{FP}=（{x-\frac{1}{2}，y}），\overrightarrow{FQ}=（{-1，y}）$．
因$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$，
得$（{x+\frac{1}{2}，0}）•（{1，-y}）=（{x-\frac{1}{2}，y}）•（{-1，y}）$，
即$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-x+{y^2}$，
故動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足方程y²=2x；
設(shè)N（x₀，y₀）是y²=2x的任一點(diǎn)，
過N作直線l的垂線，垂足為Q，則有$\overrightarrow{FN}•\overrightarrow{FQ}=\overrightarrow{QN}•\overrightarrow{QF}$，
即y²=2x上的任一點(diǎn)都具有所需的性質(zhì)．
綜上，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y²=2x；
（Ⅱ）證明：設(shè)M（a，b）為圓M的圓心，則b²=2a．
由圓M過點(diǎn)A（1，0），
可得圓M上的點(diǎn)（x，y）滿足（x-a）²+（y-b）²=（a-1）²+b²．
令x=0，得y²-2by+2a-1=0，
于是可得圓M與y軸的交點(diǎn)為E₁（0，y₁）和E₂（0，y₂），
其中${y_{1，2}}=b±\sqrt{{b^2}-2a+1}=b±1$，
故|E₁E₂|=|y₁-y₂|=2是一個(gè)常數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查圓的弦長為定值的求法，注意點(diǎn)滿足拋物線的方程，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．