Question

10．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinθ，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，cosθ），$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=1，其中θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．設(shè)函數(shù)f（x）=sin²x+acosx-acosθ-$\frac{3}{2}$．
（1）求角θ的大小；
（2）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]時的值域；
（3）當(dāng)a=0時，求函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{7}{6}$在區(qū)間[0，$\frac{13π}{6}$]上所有零點的和．

Answer 1

分析 （1）利用向量數(shù)量積的定義建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）當(dāng)a=1時，化簡函數(shù)，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解就．
（3）化簡函數(shù)g（x），利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，利用三角函數(shù)的對稱性進(jìn)行求解．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=1，
∴$\sqrt{3}$sinθ-cosθ=1，即2sin（θ-$\frac{π}{6}$）=1，
則sin（θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴θ-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）．
則θ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，θ=$\frac{π}{3}$；
（2）當(dāng)a=1時，∵θ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin²x+acosx-acosθ-$\frac{3}{2}$=sin²x+cosx-cos$\frac{π}{3}$-$\frac{3}{2}$=1-cos²x+cosx-$\frac{1}{2}-\frac{3}{2}$=-cos²x+cosx-1=-（cosx-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$．
∵x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，∴cosx∈[-1，cos$\frac{π}{3}$]，即cosx∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
∴當(dāng)cosx=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值-$\frac{3}{4}$，
當(dāng)cosx=-1時，函數(shù)f（x）取得最小值-3，
即函數(shù)f（x）在x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]時的值域是[-3，-$\frac{3}{4}$]；
（3）當(dāng)a=0時，∵θ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin²x+acosx-acosθ-$\frac{3}{2}$=sin²x-$\frac{3}{2}$，
則g（x）=f（x）+$\frac{7}{6}$=sin²x-$\frac{3}{2}$+$\frac{7}{6}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{3}{2}$+$\frac{7}{6}$=$-\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{6}$，
由g（x）=$-\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{6}$=0得cos2x=$\frac{1}{3}$，
則函數(shù)y=cos2x和y=$\frac{1}{3}$的圖象，
由圖象知兩個圖象有4個交點，
則兩兩分別關(guān)于x=$\frac{π}{2}$，和x=$\frac{3π}{2}$對稱，
則設(shè)是個零點從小到大分別為x₁，x₂，x₃，x₄，
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{π}{2}$，$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=$\frac{3π}{2}$，
即x₁+x₂=π，x₃+x₄=3π，
則x₁+x₂+x₃+x₄=π+3π=4π，
即當(dāng)a=0時，函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{7}{6}$在區(qū)間[0，$\frac{13π}{6}$]上所有零點的和為4π．

點評 本題主要考查三角函數(shù)和向量數(shù)量積的綜合，考查學(xué)生的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化能力，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．