Question

19．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的交點為F，過F且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l被拋物線C截得的線段長為8．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知直線y=-x和拋物線C交于點O，A，線段AO的中點為Q，在AO的延長線上任取一點，P作拋物線C的切線，兩切點分別為M、N，直線MQ交拋物線C于另一點B，問直線NB的斜率k₀是否為定值？如果是，求k₀的值，否則，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得直線l的方程，代入拋物線的方程求得交點，運(yùn)用弦長公式，可得p=2，進(jìn)而得到拋物線的方程；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$解得O（0，0），A（4，-4），OA的中點為Q（2，-2），設(shè)點P（m，-m），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），求得切線MP，NP的方程，進(jìn)而得到直線MQ的方程，代入拋物線的方程，求得B的縱坐標(biāo)，運(yùn)用直線的斜率公式計算即可得到定值-1．

解答 解：（1）過F（$\frac{p}{2}$，0）且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l的方程為y=x-$\frac{p}{2}$，
代入拋物線y²=2px，可得y²-2py-p²=0，
解得y=（1±$\sqrt{2}$）p，可得弦長為$\sqrt{1+1}$•|y₁-y₂|=4p=8，
解得p=2，即有拋物線的方程為y²=4x；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$解得O（0，0），A（4，-4），OA的中點為Q（2，-2），
設(shè)點P（m，-m），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
過M的切線為y₁y=2（x+x₁），切線過P，可得（y₁+2）（-m）=2x₁，
同理可得（y₂+2）（-m）=2x₂，
相除可得$\frac{{y}_{1}+2}{{y}_{2}+2}$=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}}$，化為y₁y₂（y₂-y₁）=2（y₁-y₂）（y₁+y₂），
由y₁≠y₂，可得y₁y₂=-2（y₁+y₂），
即y₂=-$\frac{2{y}_{1}}{2+{y}_{1}}$，
直線MQ：y+2=$\frac{{y}_{1}+2}{{x}_{1}-2}$（x-2）=$\frac{{y}_{1}+2}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-2}$（x-2），
代入y²=4x，可得$\frac{{y}_{1}+2}{4}$y²-（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$-2）y-2（y₁+2）-2（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$-4）=0，
即有y₁+y_B=$\frac{{{y}_{1}}^{2}-8}{{y}_{1}+2}$，可得y_B=$\frac{-2（{y}_{1}+4）}{{y}_{1}+2}$，
則k_NB═$\frac{{y}_{B}-{y}_{2}}{{x}_{B}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{B}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{B}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{B}}$=$\frac{4}{\frac{-2{y}_{1}}{2+{y}_{1}}+\frac{-2（{y}_{1}+4）}{2+{y}_{1}}}$=-1．
則直線NB的斜率k₀為定值-1．

點評 本題考查拋物線的方程的求法，注意運(yùn)用直線方程和拋物線的方程聯(lián)立求交點，考查直線斜率的求法，注意運(yùn)用拋物線的切線的方程和韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．