Question

如圖所示的多面體ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，BC=

5

，F(xiàn)是CD的中點．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求直線CE與平面ABED所成角的余弦值；
（3）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析：（1）取CE中點P，連接FP、BP，證明ABPF為平行四邊形，可得AF∥BP，利用線面平行的判定，可以證明AF∥平面BCE；
（2）過C作CO⊥AD，則O是AD的中點，連接OE，則∠CEO是直線CE與平面ABED所成角，從而可求直線CE與平面ABED所成角的余弦值；
（3）多面體ABCDE的體積

1

3

SABED•CO，即可得到結論．．

解答：（1）證明：取CE中點P，連接FP、BP，
∵F為CD的中點，
∴FP∥DE，且FP=

1

2

DE．
又AB∥DE，且AB=

1

2

DE．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE；
（2）解：∵△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，BC=

5

，
∴BC²=AB²+AC²
∴AB⊥AC
∵AB⊥AD，AC∩AD=A
∴AB⊥平面ACD
∵AB?平面ABED
∴平面ABED⊥平面ACD
過C作CO⊥AD，則O是AD的中點，且CO⊥平面ABDE
連接OE，則∠CEO是直線CE與平面ABED所成角
∵OE=

5

，CE=2

2

∴cos∠CEO=

5

2 2

=

10

4

（3）解：多面體ABCDE的體積為

1

3

SABED•CO=

1

3

×

1

2

×(1+2)×2×

3

=

3

．

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查線面角，考查幾何體體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．