Question

為改變閩江口環(huán)境，加強對化工廠污染源處理，某政協(xié)委員針對閩江口環(huán)境狀況進行了實地調(diào)研．據(jù)測定，該處的污染指數(shù)y與到污染源的距離x成反比，同時與附近污染源的強度m成正比，且比例系數(shù)為k，即y=

km

x

，若該處與污染源的距離為4km，污染源的強度為2時，則污染指數(shù)y等于1．現(xiàn)已知相距36km的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為正數(shù)a、b，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和．設(shè)AC=x（km）．（0＜x＜36）
（1）試將y表示為x的函數(shù)；
（2）現(xiàn)準備在A，B連線上C處建健身房，若a=1，b=25時，請問C在何處是最佳選擇，并說明理由．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求出點C受A、B污染源污染指數(shù)，即可得到點C處污染指數(shù)；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值與最值，進而可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)比例系數(shù)為k，由1=

2k

4

得k=2．
設(shè)點C受A污染源污染指數(shù)為

2a

x

，點C受B污染源污染指數(shù)為

2b

36-x

，
從而點C處污染指數(shù)y=

2a

x

+

2b

36-x

（0＜x＜36）；
（2）a=1，b=25時，y=

2

x

+

50

36-x

（0＜x＜36）
∴y′=2[-

1

x2

+

25

(36-x)2

]，
令y′=0，得x=6或x=-9（舍去），
當x∈（0，6）時，函數(shù)單調(diào)遞減；當x∈（6，+∞）時，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴x=6是唯一的極小值點，即為函數(shù)的最小值點．

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．