分析 (1)利用遞推關(guān)系可得$({a_{n+1}}-2{)^2}=a_n^2$,又an>2,即可證明.
(2)利用“裂項(xiàng)求和”即可得出.
解答 (1)證明:由$a_n^2+4n=4{S_n}+1$,①
可得$a_{n+1}^2+4(n+1)=4{S_{n+1}}+1$,②
②-①得$a_{n+1}^2-a_n^2+4=4{a_{n+1}}$,
即$({a_{n+1}}-2{)^2}=a_n^2$,
∵an>2,∴an+1-2=an,
即an+1-an=2,
∴{an}為等差數(shù)列.
(2)解:由已知得a12+4=4a1+1,
即$a_1^2-4{a_1}+3=0$,
解得a1=1(舍)或a1=3,
∴an=3+2(n-1)=2n+1,
∴bn=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})$,
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=$\frac{1}{2}[(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$+…+$(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})]$
=$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3})$
=$\frac{n}{3(2n+3)}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | $\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$ | B. | $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ | C. | $\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$ | D. | $\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$ |
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A. | 58 | B. | 56 | C. | 50 | D. | 45 |
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A. | 0個(gè) | B. | 1個(gè) | C. | 0或1個(gè) | D. | 無(wú)數(shù)個(gè) |
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A. | (0,$\frac{1}{2}$) | B. | ($\frac{1}{2}$,1) | C. | (1,2) | D. | (2,3) |
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