Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=3且a_n+1=2S_n+3；數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且公差d＞0，b₁+b₂+b₃=15．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若

a1

3

+b₁，

a2

3

+b₂，

a3

3

+b₃成等比數(shù)列，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

＜

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）通過a_n+1-a_n=（2S_n+3）-（2S_n-1+3）=2a_n．利用等比數(shù)列的定義判斷{a_n}是公比為3的等比數(shù)列．
（2）由題意可求得T_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n，利用裂項(xiàng)法求和，即可得出證明．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1-a_n=（2S_n+3）-（2S_n-1+3）=2a_n．
∴a_n+1=3a_n，即

an+1

an

=3，
又 a₂=2S₁+3=9=3a₁  
∴{a_n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n=3ⁿ；
（2）設(shè){b_n}的公差為d（d＞0），∵T₃=15，∴b₂=5，
依題意

a1

3

+b₁，

a2

3

+b₂，

a3

3

+b₃成等比數(shù)列，有（

a2

3

+b₂）²=（

a1

3

+b₁）（

a3

3

+b₃），
∴64=（5-d+1）（5+d+9）
d²+8d-20=0，得d=2，或d=-10（舍去），
∴b₁=5-2=3
∴T_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n．
∴

1

Tn

=

1

n2+2n

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，等比關(guān)系的確定的應(yīng)用，考查學(xué)生利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和及計(jì)算能力，屬于中檔題．