Question

如圖，已知拋物線y²=4x，點P（a，0）是x軸上的一點，經(jīng)過點P且斜率為1的直線l與拋物線相交于A，B兩點．
（1）當(dāng)點P在x軸上時，求線段AB的中點軌跡方程；
（2）若|AB|=4|OP|（O為坐標(biāo)原點），求a的值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x₀，y₀）．利用中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式、“點差法”即可得出．
（2）把直線l：x=y+a的方程與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式、兩點之間的距離公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x₀，y₀）．
則

y 2 1 =4x1 y 2 2 =4x2

，化為（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
又

y1-y2

x1-x2

=1，y₁+y₂=2y₀，
∴2y₀=4，從而y₀=2．
故線段AB的中點軌跡的方程是：y=2（x＞1）．
（2）直線l：x=y+a，
由

x=y+a y2=4x

，化為y²-4y-4a=0．
△=16+16a＞0，解得a＞-1．
∴y₁+y₂=4，y₁y₂=-4a．
|AB|=

2

|y1-y2|
=

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

2

16+16a

=4

2(1+a)

．
若|AB|=4|OP|，則4

2(1+a)

=4|a|，即a²-2a-2=0．
解得：a=1±

3

．

點評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式、“點差法”、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．