Question

設(shè)橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

3

3

，過(guò)點(diǎn)C（-1，0）的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，且

CA

=2

BC

，求當(dāng)△AOB面積達(dá)到最大時(shí)的直線和橢圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線l：x=ky-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

CA

=2

BC

，C（-1，0），知2y₂+y₁=0，由直線方程和橢圓方程，消去x，得到（2k²+3）y²-4ky+2-3b²=0，再利用韋達(dá)定理，求出y₁，y₂，再由三角形的面積公式運(yùn)用基本不等式求出最大值，以及等號(hào)成立的條件，即可得到直線方程，再由y₁y₂，求出b²，即可求出橢圓方程．

解答： 解：設(shè)直線l：x=ky-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于

CA

=2

BC

，C（-1，0），
則（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
即2y₂+y₁=0，①
由于離心率為

3

3

，則c²=

1

3

a²，則a²=

3

2

b²，
則橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，即為：2x²+3y²=3b²，
聯(lián)立直線l和橢圓方程，消去x，得（2k²+3）y²-4ky+2-3b²=0，
則y₁+y₂=

4k

2k2+3

②，y₁y₂=

2-3b2

2k2+3

，③
由①②得，y₁=

8k

2k2+3

，y₂=

-4k

2k2+3

，
由于S_△AOB=

1

2

|y₁|+

1

2

|y₂|=

1

2

|y₁-y₂|=

6|k|

2k2+3

=6•

1

2|k|+ 3 |k|

≤

6

2 6

=

6

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)k²=

3

2

即k=±

6

2

時(shí)，取最大值．
此時(shí)直線l：x=

6

2

y-1或x=-

6

2

y-1．
當(dāng)k²=

3

2

時(shí)，y₁y₂=

-32k2

(2k2+3)2

=-

4

3

，
由③，可得b²=

10

3

，
則橢圓方程為2x²+3y²=10，即有

x2

5

+

y2

10 3

=1．
故當(dāng)△AOB面積達(dá)到最大時(shí)的直線方程為x-

6

2

y+1=0或x+

6

2

y+1=0．
橢圓的方程為：

x2

5

+

y2

10 3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立橢圓方程和直線方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意等號(hào)成立的條件，屬于中檔題．