【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3x+1,當(dāng)x∈[2,+∞),f(x)≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】[﹣ ,+∞)
【解析】解:x∈[2,∞),f(x)≥0,
即x3+3ax2+3x+1≥0,
即x+ + ≥﹣3a.
令g(x)=x+ + ,
則g'(x)= ,
下面我們證g'(x)≥0在x∈[2,∞)恒成立,
也即x3﹣3x﹣2≥0在x∈[2,∞)上恒成立,
令h(x)=x3﹣3x﹣2,則h'(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1),
易知h'(x)≥0在x∈[2,∞)上恒成立,
∴h(x)在x∈[2,∞)上為增函數(shù),
∴h(x)≥h(2)=0,也就是x3﹣3x﹣2≥0在x∈[2,∞)上恒成立,
∴g'(x)≥0在x∈[2,∞)上恒成立,g(x)在x∈[2,∞)為增函數(shù),
∴g(x)的最小值為g(2)= ,
﹣3a≤g(2)= ,
解得a≥﹣ ,
所以答案是:[﹣ ,+∞).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】當(dāng)今信息時(shí)代,眾多高中生也配上了手機(jī).某校為研究經(jīng)常使用手機(jī)是否對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)有影響,隨機(jī)抽取高三年級(jí)50名理科生的一次數(shù)學(xué)周練成績(jī),并制成下面的2×2列聯(lián)表:
及格 | 不及格 | 合計(jì) | |
很少使用手機(jī) | 20 | 6 | 26 |
經(jīng)常使用手機(jī) | 10 | 14 | 24 |
合計(jì) | 30 | 20 | 50 |
(1)判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為經(jīng)常使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)有影響?
(2)從這50人中,選取一名很少使用手機(jī)的同學(xué)記為甲和一名經(jīng)常使用手機(jī)的同學(xué)記為乙,解一道數(shù)學(xué)題,甲、乙獨(dú)立解出此題的概率分別為P1 , P2 , 且P2=0.5,若|P1﹣P2|≥0.4,則此二人適合結(jié)為學(xué)習(xí)上互幫互助的“學(xué)習(xí)師徒”,記X為兩人中解出此題的人數(shù),若X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1.4,問(wèn)兩人是否適合結(jié)為“學(xué)習(xí)師徒”? 參考公式及數(shù)據(jù): ,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥K0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
K0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB,M,N分別為PB,AC的中點(diǎn),
(1)求證:MN∥平面PAD;
(2)求點(diǎn)B到平面AMN的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一條光線從點(diǎn)A(3,2)發(fā)出,經(jīng)x軸反射后,通過(guò)點(diǎn)B(-1,6),求入射光線和反射光線所在的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班從3名男生a,b,c和2名女生d,e中任選3名代表參加學(xué)校的演講比賽,則男生a和女生d至少有一人被選中的概率為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x,y之間的相關(guān)關(guān)系,并求得回歸直線方程,分別得到以下四個(gè)結(jié)論:
①y與x負(fù)相關(guān)且 =2.347x-6.423;②y與x負(fù)相關(guān)且 =-3.476x+5.648;
③y與x正相關(guān)且 =5.437x+8.493;④y與x正相關(guān)且 =-4.326x-4.578.
其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為( , ),直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ﹣ )=a,且點(diǎn)A在直線l上,
(1)求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)圓C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在斜三棱柱 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在( )
A.直線AB上
B.直線BC上
C.直線AC上
D.△ABC的內(nèi)部
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若函數(shù)y=f(x)ex在x=﹣1處取得極值,則下列圖象不可能為y=f(x)的圖象是( )
A.
B.
C.
D.
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