Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，其中常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）令，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)定義在D上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為當(dāng)時(shí)，若在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)的“特殊點(diǎn)”，請(qǐng)你探究當(dāng)時(shí)，函數(shù)是否存在“特殊點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)最少求出一個(gè)“特殊點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

(Ⅰ) 為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為函數(shù)的極小值點(diǎn).
(Ⅱ) ；（Ⅲ）是一個(gè)特殊點(diǎn)的橫坐標(biāo).

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的中的運(yùn)用。確定函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的極值點(diǎn)，和函數(shù)的最值問(wèn)題的綜合運(yùn)用。
（1）由于當(dāng)a=4時(shí)，解析式確定，求解導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)性，可以知道函數(shù)的 極值點(diǎn)的問(wèn)題。
（2）因?yàn)榱?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223056954824.png" style="vertical-align:middle;" />，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，說(shuō)明了函數(shù)F(x)在給定區(qū)間的導(dǎo)數(shù)恒大于等于零，來(lái)分離參數(shù)得到取值范圍。
（3）根據(jù)新的定義“特殊點(diǎn)”的理解，然后給定參數(shù)a的值為4，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論，分析可知是否有滿足題意的特殊點(diǎn)，主要是借助于導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性得到。
(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，=
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為函數(shù)的極小值點(diǎn).        ……4分
(Ⅱ)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，只需滿足對(duì)恒成立                     ………………6分
即對(duì)恒成立
所以                                      ………………………8分
（Ⅲ）由題意：當(dāng)時(shí)，，
則在點(diǎn)P處切線的斜率
所以
             ………………………10分
令，
則
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.時(shí)，從而有時(shí)，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，從而有時(shí)，                            ………………………12分
在上不存在“特殊點(diǎn)”.當(dāng)時(shí)，
在上是增函數(shù)，故是一個(gè)特殊點(diǎn)的橫坐標(biāo).