Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，(e為自然對數(shù)的底數(shù))
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在上無零點，求a的最小值；
（III）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求a的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為
（Ⅱ）若函數(shù)在上無零點，則的最小值為；
（III）當時，對任意給定的在上總存在兩個不同的，使成立．

(I)當a=1時，解析式確定直接利用得到函數(shù)f(x)的增（減）區(qū)間.
（II）解本小題的關(guān)鍵是先確定在上恒成立不可能，故要使函數(shù)在上無零點，只要對任意的恒成立，即對恒成立．
再構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)求l(x)的最大值即可.
（III）解本小題的突破口是當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，函數(shù) 單調(diào)遞減.
所以，函數(shù)當時，不合題意；再確定時的情況.
解：（Ⅰ）當時，由
       
故的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為         ………………………………4分
（Ⅱ）因為在上恒成立不可能，故要使函數(shù)在上無零點，
只要對任意的恒成立，即對恒成立．          
令則再令
在上為減函數(shù)，于是
從而，，于是在上為增函數(shù)
故要使恒成立，只要
綜上，若函數(shù)在上無零點，則的最小值為……………………8分
（III）當時，函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，函數(shù) 單調(diào)遞減
所以，函數(shù)當時，不合題意；
當時，  
故必需滿足  ①
此時，當 變化時的變化情況如下：

	—	0	+
	單調(diào)減	最小值	單調(diào)增

∴對任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個不同的
使得成立，當且僅當滿足下列條件② ③

令 
令，得
當時， 函數(shù)單調(diào)遞增；當時，函數(shù)單調(diào)遞減．
所以，對任意有即②對任意恒成立． 
由③式解得：    ④             
綜合①④可知，當時，對任意給定的在上總存在兩個不同的，使成立．………………………………14分