Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（k∈R）

（Ⅰ）若該函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)k及f（log32）的值；

（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=x+log3f（x）有零點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）k＜1.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)定義f（-x）=f（x），代入函數(shù)化簡(jiǎn)即可求得k的值，進(jìn)而得到函數(shù)解析式，再將x=log32代入，根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式的化簡(jiǎn)即可求得解。

（Ⅱ）將f（x）的表達(dá)式代入函數(shù)g（x）=x+log3f（x）中，化簡(jiǎn)為g（x） =log3（9x+k），根據(jù)零點(diǎn)意義，可得9x+k=1。根據(jù)9x＞0，即可求得k的取值范圍。

（Ⅰ）函數(shù)f（x）=即f（x）=3x+k3-x是偶函數(shù)，

可得對(duì)任意x∈R，都有f（-x）=f（x），

即3-x+k3x=3x+k3-x，

即為（k-1）（3x-3-x）=0，而x∈R，則k=1，

則f（x）=3x+3-x，

f（log32）=+=2+=；

（Ⅱ）g（x）=x+log3f（x）=log33x+log3=log3（9x+k），

由log3（9x+k）=0，得9x+k=1，即1-k=9x，

可得1-k＞0，

即k＜1時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)．