Question

1．極坐標(biāo)系中橢圓C的方程為ρ²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，且兩坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度．
（1）若橢圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），求${x^2}+\sqrt{2}xy$的取值范圍；
（2）若橢圓的兩條弦AB，CD交于點(diǎn)Q，且直線AB與CD的傾斜角互補(bǔ)，求證：|QA|•|QB|=|QC|•|QD|．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C的極坐標(biāo)方程能橢圓C的直角坐標(biāo)方程，設(shè)$x=\sqrt{2}cosθ，y=sinθ$，由三角函數(shù)性質(zhì)能求出${x^2}+\sqrt{2}xy$的取值范圍．
（2）設(shè)直線AB的傾斜角為α，直線CD的傾斜角為π-α，Q（x₀，y₀），直線AB的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcoα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），代入x²+2y²=2，得：（x₀+tcosα）²+2（y₀+tsinα）²-2=0，推導(dǎo)出|QA|•|QB|=|t₁t₂|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2}{co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}$|，同理，|QC|•|QB|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2}{co{s}^{2}（π-α）+2si{n}^{2}（π-α）}$|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2}{co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}$|，由此能證明|QA|•|QB|=|QC|•|QD|．

解答 （本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
解：（1）∵橢圓C的方程為ρ²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，
∴橢圓C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
設(shè)$x=\sqrt{2}cosθ，y=sinθ$，
則${x^2}+\sqrt{2}xy=2{cos^2}θ+2cosθsinθ$
=$1+cos2θ+sin2θ=1+\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）∈[{1-\sqrt{2}，1+\sqrt{2}}]$．
∴${x^2}+\sqrt{2}xy$的取值范圍是[1-$\sqrt{2}，1+\sqrt{2}$]．
證明：（2）設(shè)直線AB的傾斜角為α，直線CD的傾斜角為π-α，Q（x₀，y₀），
則直線AB的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcoα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），
代入x²+2y²=2，得：（x₀+tcosα）²+2（y₀+tsinα）²-2=0，
即（cos²α+2sin²α）t²+（2x₀cosα+4y₀sinα）t+（${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}$-2）=0，
設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則|QA|•|QB|=|t₁t₂|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2}{co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}$|，
同理，|QC|•|QB|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2}{co{s}^{2}（π-α）+2si{n}^{2}（π-α）}$|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2}{co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}$|，
∴|QA|•|QB|=|QC|•|QD|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的取值范圍的求法，考查兩組線段乘積相等的證明，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．