Question

1．若函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，有f（5）=0，$則\frac{{f（x）+f（{-x}）}}{2x}＜0$的解集為（-5，0）∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 由題意和偶函數(shù)的性質(zhì)判斷出：f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性、圖象所過(guò)的特殊點(diǎn)，畫出f（x）的示意圖，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化后，根據(jù)圖象求出不等式的解集．

解答 解：∵f（x）是偶函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
由f（5）=0得，f（-5）=0，
作出f（x）的示意圖，如圖所示：
∵$\frac{f（x）+f（-x）}{2x}＜0$等價(jià)于$\frac{f（x）}{x}＜0$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
∴由圖象得，x＞5或-5＜x＜0，
∴不等式的解集為：（-5，0）∪（5，+∞），
故答案為：（-5，0）∪（5，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系，以及偶函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，畫出函數(shù)的示意圖是解題關(guān)鍵．