【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的最大值;
(2)令,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若,正實數(shù)滿足,證明.
【答案】(1)f(x)的最大值為f(1)=0.(2)見解析(3)見解析
【解析】
試題(Ⅰ)代入求出值,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值,進而判斷最值;(Ⅱ)求出,求出導(dǎo)函數(shù),分別對參數(shù)分類討論,確定導(dǎo)函數(shù)的正負,得出函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅲ)整理方程,觀察題的特點,變形得,故只需求解右式的范圍即可,利用構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)的方法求出右式的最小值.
試題解析:(Ⅰ)因為,所以a=-2,此時f(x)=lnx-x2+x,
f'(x)=-2x+1,
由f'(x)=0,得x=1,
∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
故當(dāng)x=1時函數(shù)有極大值,也是最大值,所以f(x)的最大值為f(1)=0.
(Ⅱ)g(x)=f(x)-ax2-ax+1,
∴g(x)=lnx-ax2-ax+x+1 ,
當(dāng)a=0時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時,x∈(0,)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;x∈(,+∞)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)a<0時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
(Ⅲ)當(dāng)a=2時,f(x)=lnx+x2+x,x>0,.
由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,即
lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=0.
從而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2-ln(x1x2),.
令t=x2x1,則由φ(t)=t-lnt得,φ'(t)=.
可知,φ(t)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.所以φ(t)≥1,
所以(x1+x2)2+(x1+x2)≥1,正實數(shù)x1,x2,
∴.
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【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時,證明:;
(Ⅲ)求證:對任意正整數(shù),都有 (其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角梯形PBCD中, ,A為PD的中點,如下左圖。將沿AB折到的位置,使,點E在SD上,且,如下圖。
(1)求證: 平面ABCD;
(2)求二面角E—AC—D的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某面包店隨機收集了面包種類的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:
面包類型 | 第一類 | 第二類 | 第三類 | 第四類 | 第五類 | 第六類 |
面包個數(shù) | 90 | 60 | 30 | 80 | 100 | 40 |
好評率 | 0.6 | 0.45 | 0.7 | 0.35 | 0.6 | 0.5 |
好評率是指:一類面包中獲得好評的個數(shù)與該類面包的個數(shù)的比值.
(1)從面包店收集的面包中隨機選取1個,求這個面包是獲得好評的第五類面包的概率;
(2)從面包店收集的面包中隨機選取1個,估計這個面包沒有獲得好評的概率;
(3)面包店為增加利潤,擬改變生產(chǎn)策略,這將導(dǎo)致不同類型面包的好評率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類面包的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類面包的好評率增加0.1,哪類面包的好評率減少0.1,使得獲得好評的面包總數(shù)與樣本中的面包總數(shù)的比值達到最大?(只需寫出結(jié)論)
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【題目】某科研團隊對某一生物生長規(guī)律進行研究,發(fā)現(xiàn)其生長蔓延的速度越來越快.開始在某水域投放一定面積的該生物,經(jīng)過2個月其覆蓋面積為18平方米,經(jīng)過3個月其覆蓋面積達到27平方米.該生物覆蓋面積(單位:平方米)與經(jīng)過時間個月的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇.
(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適,并求出該模型的函數(shù)解析式;
(2)問約經(jīng)過幾個月,該水域中此生物的面積是當(dāng)初投放的1000倍(參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓與直線相切于點,圓心在軸上.
(1)求圓的方程;
(2)過點且不與軸重合的直線與圓相交于兩點,為坐標(biāo)原點,直線分別與直線相交于兩點,記,的面積分別是,求的取值范圍.
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【題目】美國對中國芯片的技術(shù)封鎖,這卻激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮,中國華為公司研發(fā)的、兩種芯片都已獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金千萬元,現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進行生產(chǎn),經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測,生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比,已知每投入千萬元,公司獲得毛收入千萬元;生產(chǎn)芯片的毛收入(千萬元)與投入的資金(千萬元)的函數(shù)關(guān)系為(與都為常數(shù)),其圖象如圖所示.
(1)試分別求出生產(chǎn)、兩種芯片的毛收入(千萬元)與投入資金(千萬元)函數(shù)關(guān)系式;
(2)現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入億元資金同時生產(chǎn)、兩種芯片,設(shè)投入千萬元生產(chǎn)芯片,用表示公司所獲利潤,當(dāng)為多少時,可以獲得最大利潤?并求最大利潤.(利潤芯片毛收入芯片毛收入研發(fā)耗費資金)
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