Question

14．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有|FA|=|FD|．當(dāng)點A的橫坐標(biāo)為3時，△ADF為正三角形．
（1）求C的方程；
（2）若直線l₁∥l，且l₁和C有且只有一個公共點E，證明直線AE過定點，并求出定點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，求出的p值；
（2）設(shè)出點A的坐標(biāo)，求出直線AB的方程，利用直線l₁∥l，且l₁和C有且只有一個公共點E，求出點E的坐標(biāo)，寫出直線AE的方程，將方程化為點斜式，可求出定點．

解答 解：（1）由題意知F（$\frac{p}{2}$，0），設(shè)D（t，0）（t＞0），則FD的中點為（$\frac{p+2t}{4}$，0），
因為|FA|=|FD|，由拋物線的定義知：3+$\frac{p}{2}$=|t-$\frac{p}{2}$|，解得t=3+p或t=-3（舍去）．
由$\frac{p+2t}{4}$=3，解得p=2．所以拋物線C的方程為C的方程為y²=4x．
（2）由（1）知F（1，0），
設(shè)A（x₁，y₁），|FD|=|AF|=x₁+1，
∴D（x₁+2，0），故直線AB的斜率為-$\frac{{y}_{1}}{2}$，
因為直線l₁和直線AB平行，設(shè)直線l₁的方程為y=-$\frac{{y}_{1}}{2}$x+b，
代入拋物線方程得y²+$\frac{8}{{y}_{1}}$y-$\frac{8b}{{y}_{1}}$=0，
由題意△=0，得b=-$\frac{2}{{y}_{1}}$．
設(shè)E（x₂，y₂），則x₂=$\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}$，y₂=-$\frac{4}{{y}_{1}}$．
當(dāng)y₁²≠4時，k_AE=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-4}$，
可得直線AE的方程為y-y₁=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-4}$（x-x₁），
由y₁²=4x₁，整理可得y=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-4}$（x-1），直線AE恒過點F（1，0），
當(dāng)y₁²=4時，直線AE的方程為x=1，過點F（1，0），所以直線AE過定點F（1，0）．

點評 本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用、標(biāo)準(zhǔn)方程求法，定點問題，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．