Question

計(jì)算：
（1）

(-1+i)(2+i)

i3

；
（2）

1-i

(1+i)2

+

1+i

(1-i)2

；
（3）（

1+i

2

）²⁰⁰⁹+（

1-i

2

）²⁰⁰⁹．

Answer 1

分析：（1）利用復(fù)數(shù)的乘法法則及復(fù)數(shù)單位的意義化簡(jiǎn)分子，和分母，再將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)按多項(xiàng)式乘法展開(kāi)得到答案．
（2）利用完全平方公式及虛數(shù)單位意義化簡(jiǎn)分母，再將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)再按多項(xiàng)式乘法展開(kāi)即得答案．
（3）先求1+i和1-i的平方，再利用i²=-1求出i¹⁰⁰⁴，代入計(jì)算可得答案．．

解答：解：（1）

(-1+i)(2+i)

i3

=

-3+i

-i

=-1-3i．
（2）

1-i

(1+i)2

+

1+i

(1-i)2

=

1-i

2i

+

1+i

-2i

=

1+i

-2

+

-1+i

2

=-1．
（3）（

1+i

2

）²⁰⁰⁹+（

1-i

2

）²⁰⁰⁹=

1

( 2 )2009

[（1+i）²⁰⁰⁸•（1+i）+（1-i）²⁰⁰⁸•（1-i）]=

1

( 2 )2009

[（2i）¹⁰⁰⁴•（1+i）+（-2i）¹⁰⁰⁴•（1-i）]=

1

2

[1•（1+i）+1•（1-i）]=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位的意義．