Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點A（0，-2）與橢圓右焦點F的連線的斜率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）O為坐標原點，過點A的直線l與橢圓C相交于P、Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)F（c，0），利用直線的斜率公式可得關(guān)于c的方程，求出c，由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得a，由b²=a²-c²，求得b的值，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意可設(shè)直線l的方程為：y=kx-2，與橢圓的方程聯(lián)立可得（1+4k²）x²-16kx+12=0，求出方程的根，從而表示出|PQ|以及點O到直線PQ的距離，從而表示出S_△OPQ，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)F（c，0）．
∵直線AF的斜率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{2}{c}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解得c=$\sqrt{3}$．
又離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由b²=a²-c²，解得：a=2，b=1，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意可設(shè)直線l的方程為：y=kx-2，與橢圓方程聯(lián)立，
整理得：（1+4k²）x²-16kx+12=0，當△=16（4k²-3）＞0時，即k²＞$\frac{3}{4}$時，
x₁+x₂=$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
∴|PQ|=$\frac{4\sqrt{{k}^{2}+1}•\sqrt{4{k}^{2}-3}}{4{k}^{2}+1}$，
∵點O到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$•d•|PQ|=$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-3}}{4{k}^{2}+1}$，
設(shè)$\sqrt{4{k}^{2}-3}$=t＞0，則4k²=t²+3，
∴S_△OPQ=$\frac{4t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{4}{t+\frac{4}{t}}$≤1，
當且僅當t=2，即$\sqrt{4{k}^{2}-3}$=2，解得k=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$時取等號，且滿足△＞0，
∴△OPQ的面積最大時，直線l的方程為：y=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$x-2．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，直線與橢圓的方程的綜合應(yīng)用，點到直線的距離公式，三角形的面積公式，基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．