Question

16．已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)是$（{0，-\sqrt{3}}）$和$（{0，\sqrt{3}}）$，并且經(jīng)過點(diǎn)（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），拋物線E的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)恰好是橢圓C的右頂點(diǎn)A₂．
（Ⅰ）求橢圓C和拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)A₂作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l₁、l₂；l₁交拋物線E于點(diǎn)A、B，l₂交拋物線E于點(diǎn)G、H，其中l(wèi)₁的斜率為1，求$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$的值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓的定義，求出a，即可得出橢圓的方程，從而可得右頂點(diǎn)F的坐標(biāo)，即可求出拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)l₁的方程：y=k（x-1），l₂的方程y=-$\frac{1}{k}$（x-1），與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，利用基本不等式，即可求出$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$的最小值．

解答 解：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），焦距為2c，
則由題意得 c=$\sqrt{3}$，2a=$\sqrt{\frac{3}{4}+（1+\sqrt{3}）^{2}}+\sqrt{\frac{3}{4}+（1-\sqrt{3}）^{2}}$=4，
∴a=2，b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$．   …（4分）
∴右頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）．
設(shè)拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0），
∴$\frac{p}{2}=1$，
∴p=2
∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x． …（6分）
（Ⅱ）設(shè)l₁的方程：y=k（x-1），l₂的方程y=-$\frac{1}{k}$（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₃，y₃），H（x₄，y₄），
由y=k（x-1），代入拋物線方程消去y得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
由y=-$\frac{1}{k}$（x-1），代入拋物線方程消去y得：x²-（4k²+2）x+1=0，
∴x₃+x₄=4k²+2，x₃x₄=1，…（9分）
∴$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$=（$\overrightarrow{AF}$+$\overrightarrow{FG}$）•（$\overrightarrow{HF}$+$\overrightarrow{FB}$）
=|$\overrightarrow{AF}$||$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FG}$||$\overrightarrow{HF}$|
=|x₁+1|•|x₂+1|+|x₃+1|•|x₄+1|
=（x₁x₂+x₁+x₂+1）+（x₃x₄+x₃+x₄+1）
=8+$\frac{4}{{k}^{2}}$+4k²≥8+2$\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}•4{k}^{2}}$=16．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4}{{k}^{2}}$=4k²，即k=±1時(shí)，$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$有最小值16．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．