Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+2x．
（1）若x∈[-2，a]，a＞-2時(shí)，求f（x）的值域．
（2）若存在實(shí)數(shù)t，當(dāng)x∈[1，m]，m＞1時(shí)，f（x+t）≤3x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求f（x）的對(duì)稱軸，x=-1，f（-2）=f（0），從而可討論a：-2＜a≤-1，-1＜a≤0，a＞0，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及頂點(diǎn)情況求出每種情況下f（x）的最值，從而求出每種情況下f（x）的值域；
（2）首先由f（x+t）≤3x恒成立得到x²+（2t-1）x+t²+2t≤0恒成立，設(shè)u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，從而可以得到$\left\{\begin{array}{l}{u（1）≤0}\\{u（m）≤0}\end{array}\right.$，進(jìn)一步可得到$\left\{\begin{array}{l}{-4≤t≤0}\\{{t}^{2}+2（1+m）t+{m}^{2}-m≤0}\end{array}\right.$，可設(shè)g（t）=t²+2（1+m）t+m²-m，從而可將原題轉(zhuǎn)化為存在t∈[-4，0]，使得g（t）_min≤0成立．g（t）的對(duì)稱軸x=-1-m，并可判斷-1-m＜-2，從而討論對(duì)稱軸-1-m＜-4，-4≤-1-m＜-2，求出每種情況下g（t）的最小值，根據(jù)g（t）_min≤0即可求出每種情況下m的取值范圍，然后對(duì)這兩種情況求得的m的取值范圍求并集即可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=-1；
∴①-2＜a≤-1時(shí)，f（x）在[-2，a]上單調(diào)遞減；
∴此時(shí)f（x）的值域?yàn)閇f（a），f（-2）]=[a²+2a，0]；
②-1＜a≤0時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇f（-1），f（-2）]=[-1，0]；
③a＞0時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇f（-1），f（a）]=[-1，a²+2a]；
（2）由f（x+t）≤3x恒成立得：x²+（2t-1）x+t²+2t≤0恒成立；
設(shè)u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，x∈[1，m]；
∵u（x）的開口向上；
∴u（x）的最大值為max{u（1），u（m）}；
∴由u（x）≤0恒成立知$\left\{\begin{array}{l}{u（1）={t}^{2}+4t≤0}\\{u（m）={t}^{2}+2（1+m）t+{m}^{2}-m≤0}\end{array}\right.$；
解t²+4t≤0得-4≤t≤0；
設(shè)g（t）=t²+2（1+m）t+m²-m；
∴原題可轉(zhuǎn)化為存在t∈[-4，0]，使得g（t）≤0；
即當(dāng)t∈[-4，0]時(shí)，g（t）_min≤0；
∵m＞1，∴g（t）的對(duì)稱軸x=-1-m＜-2；
①若-1-m＜-4，即m＞3時(shí)，$g（t）_{min}=g（-4）=16-8（1+m）+{m}^{2}-m≤0$；
解得1≤m≤8；
∴3＜m≤8；
②若-4≤-1-m＜-2，即1＜m≤3時(shí)，g（t）_min=g（-1-m）=-3m-1≤0；
解得$m≥-\frac{1}{3}$；
∴1＜m≤3；
綜上得m的取值范圍為（1，8]．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸和二次函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點(diǎn)情況求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域的方法，二次函數(shù)的開口方向和二次函數(shù)在閉區(qū)間上最大值的關(guān)系，正確求解一元二次不等式．