Question

5．設向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$．若向量$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為θ，則cosθ的最小值等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 設|$\overrightarrow$|=x|$\overrightarrow{a}$|，（x＞0），利用向量垂直以及向量的夾角公式，結合基本不等式進行求解即可得到結論．

解答 解：設|$\overrightarrow$|=x|$\overrightarrow{a}$|，（x＞0），
∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$．
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+9{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+9{x}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\sqrt{1+9{x}^{2}}$|$\overrightarrow{a}$|，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{x}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\sqrt{1+{x}^{2}}$|$\overrightarrow{a}$|，
$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+3${\overrightarrow}^{2}$=|$\overrightarrow{a}$|²+3x²|$\overrightarrow{a}$|²=（1+3x²）|$\overrightarrow{a}$|²，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$$\frac{（1+3{x}^{2}）|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{\sqrt{1+9{x}^{2}}•\sqrt{1+{x}^{2}}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$=$\frac{1+3{x}^{2}}{\sqrt{1+10{x}^{2}+9{x}^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{1+6{x}^{2}+9{x}^{4}}{1+10{x}^{2}+9{x}^{4}}}$=$\sqrt{\frac{1+10{x}^{2}+9{x}^{4}-4{x}^{2}}{1+10{x}^{2}+9{x}^{4}}}$=$\sqrt{1-\frac{4{x}^{2}}{1+10{x}^{2}+9{x}^{4}}}$
=$\sqrt{1-\frac{4}{\frac{1}{{x}^{2}}+9{x}^{2}+10}}$≥$\sqrt{1-\frac{4}{2\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}•9{x}^{2}}+10}}$=$\sqrt{1-\frac{4}{16}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故cosθ的最小值等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$

點評 本題主要考查向量的數量積的應用以及基本不等式求最值，考查學生的運算能力．