Question

17．如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求證：AC∥平面DEF；
（Ⅲ）求三棱錐C-DEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出BE⊥AC，AC⊥BD．由此能證明AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）設AC∩BD=O，設G為DE的中點，連結OG，F(xiàn)G，推導出四邊形AOGF為平行四邊形，從而AO∥FG，即AC∥FG，由此能證明AC∥平面DEF．
（Ⅲ）推導出點C到平面DEF的距離等于A點到平面DEF的距離，由V_C-DEF=V_A-DEF，能求出三棱錐C-DEF的體積．

解答 （本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）因為平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，且AB⊥BE，所以BE⊥平面ABCD．
因為AC?平面ABCD，所以BE⊥AC．
又因為四邊形ABCD為正方形，所以AC⊥BD．
因為BD∩BE=B，所以AC⊥平面BDE．…（4分）
（Ⅱ）設AC∩BD=O，
因為四邊形ABCD為正方形，所以O為BD中點．
設G為DE的中點，連結OG，F(xiàn)G，
則OG∥BE，且$OG=\frac{1}{2}BE$．由已知AF∥BE，且$AF=\frac{1}{2}BE$，
則AF∥OG，且AF=OG．所以四邊形AOGF為平行四邊形．
所以AO∥FG，即AC∥FG．
因為AC?平面DEF，F(xiàn)G?平面DEF，
所以AC∥平面DEF．…（9分）
解：（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面ABCD，
因為AF∥BE，所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD．
又因為四邊形ABCD為正方形，所以AB⊥AD，
所以AD⊥平面ABEF．
由（Ⅱ）可知，AC∥平面DEF，
所以，點C到平面DEF的距離等于A點到平面DEF的距離，
所以 V_C-DEF=V_A-DEF．
因為AB=AD=2AF=2．
所以${V_{C-DEF}}={V_{A-DEF}}={V_{D-AEF}}=\frac{1}{3}×{S_{△AEF}}×AD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AF×AB×AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2=\frac{2}{3}$．
故三棱錐C-DEF的體積為$\frac{2}{3}$．…（14分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．