Question

已知f（x）=ax+blnx-1，設曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為y=0．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）設函數(shù)g（x）=mf（x）+

x2

2

-mx，其中1＜m＜3．求證：當x∈[1，e]時，-

3

2

（1+ln3）＜g（x）＜

e2

2

-2．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）f′(x)=a+

b

x

，由已知條件得a-1=0，a+b=0．由此能求出a和b．
（Ⅱ）由f（x）=x-lnx-1，x＞0，得g(x)=

x2

2

-mlnx-m，x＞0．g′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

由此利用導數(shù)性質結合已知條件能證明當1＜m＜3，x∈[1，e]時，-

3

2

(1+ln3)＜g(x)＜

e2

2

-2．

解答： （本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：f′(x)=a+

b

x

，（2分）
依題意f（1）=0，且f'（1）=0．（3分）
所以a-1=0，a+b=0．
解得a=1，b=-1．（4分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得f（x）=x-lnx-1，x＞0．
所以g(x)=

x2

2

-mlnx-m，x＞0．g′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

．（6分）
當m＞0時，由g'（x）＞0得x＞

m

，由g'（x）＜0得0＜x＜

m

．
所以g（x）在區(qū)間(0，

m

)上是減函數(shù)，
在區(qū)間(

m

，+∞)上是增函數(shù)，x=

m

是g（x）的極小值點．（8分）
當1＜m＜3，x∈[1，e]時，

m

∈[1，e]，
所以g（x）的最小值為g(

m

)，最大值為max（g（1），g（e））．（9分）
設h(m)=g(

m

)=-

m

2

-

m

2

lnm，則h′(m)=-1-

1

2

lnm，
因為1＜m＜3，所以lnm＞0，h'（m）＜0．
所以h（m）在1＜m＜3上單調遞減，
所以，h(m)＞h(3)=-

3

2

-

3

2

ln3=-

3

2

(1+ln3)．（11分）
所以，當1＜m＜3，x∈[1，e]時，g(x)＞-

3

2

(1+ln3)．
又因為1＜m＜3，g(e)=

e2

2

-2m＜

e2

2

-2，（12分）
g(1)=

1

2

-m＜0＜

e2

2

-2．（13分）
所以當1＜m＜3，x∈[1，e]時，g(x)＜

e2

2

-2，
綜上，當1＜m＜3，x∈[1，e]時，-

3

2

(1+ln3)＜g(x)＜

e2

2

-2．（14分）

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．