Question

某港口水深y（米）是時(shí)間t（0≤t≤24，單位：小時(shí)）的函數(shù)，下表是水深數(shù)據(jù)：

t（小時(shí)）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

根據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asinωt+b的圖象．
（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出y=Asinωt+b的表達(dá)式；
（2）一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？（忽略離港所用的時(shí)間）

Answer 1

考點(diǎn)：在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型

專題：應(yīng)用題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，

A+h=13 -A+h=7

，可得A=3，h=10，由T=15-3=12，可求ω=

π

6

，將點(diǎn)（3，13）代入可得φ=0，從而可求函數(shù)的表達(dá)式；
（2）由題意，水深y≥4.5+7，即3sin

π

6

t+10≥11.5（0≤t≤24），從而可求t∈[1，5]或t∈[13，17]；

解答： 解：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，

A+h=13 -A+h=7

，
∴A=3，h=10，
T=15-3=12，
∴ω=

2π

T

=

π

6

，
∴y=3sin（

π

6

x+φ）+10
將點(diǎn)（3，13）代入可得π=0
∴函數(shù)的表達(dá)式為y=3sin

π

6

t+10（0≤t≤24）；
（2）由題意，水深y≥4.5+7，
即3sin

π

6

t+10≥11.5（0≤t≤24），
∴sin

π

6

t≥

1

2

，
∴sin

π

6

t∈[2kπ+

π

6

，2kπ+

5π

6

]，k=0，1，
∴t∈[1，5]或t∈[13，17]；
所以，該船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全進(jìn)港．
若欲于當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)16小時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：本題以表格數(shù)據(jù)為載體，考查三角函數(shù)模型的構(gòu)建，考查解三角不等式，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問題的能力．