Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BB₁的中點(diǎn)，O是底面正方形ABCD的中心．求證：OE⊥平面ACD₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：連接B₁D，A₁D，運(yùn)用線面垂直的判定定理，證得AC⊥平面B₁DB，則AC⊥B₁D，同理可得AD₁⊥B₁D，再由線面垂直的判定定理，得到B₁D⊥平面ACD₁，再由線面垂直的性質(zhì)定理，即可證得OE⊥平面ACD₁．

解答： 證明：連接B₁D，A₁D，
∵B₁B⊥平面ABCD，
∴B₁B⊥AC，
又AC⊥BD，
∴AC⊥平面B₁DB，
∴AC⊥B₁D，
同理可證AD₁⊥B₁D，
AC∩AD₁=A，
∴B₁D⊥平面ACD₁，
∵B₁E=BE，OB=OD，
∴OE∥B₁D，
∴OE⊥平面ACD₁．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì)及運(yùn)用，考查空間想象能力和推理能力，屬于中檔題．