Question

已知P(5，

2

3

π)，O為極點(diǎn)，則使△POP′是正三角形的P′點(diǎn)的極坐標(biāo)

 

．（規(guī)定ρ≥0，0≤θ＜2π）

Answer 1

分析：求出P的直角坐標(biāo)，利用∠POP′=60°，OP=OP′，得到①和②，解方程組求得m，n，即得P′的直角坐標(biāo)，再把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)．

解答：解：P的直角坐標(biāo)為 （5cos

2π

3

，5sin

2π

3

 ），即 （

-5

2

，

5 3

2

 ）．當(dāng)△POP′是正三角形時(shí)，
設(shè)P（m，n ），則∠POP′=60°，OP=OP′=

25 4 + 75 4

=5．  故有
tan60°=

3

=|

n m -(- 3)

1+ n m •(- 3 )

|   ①，且

m2+ n2

=5  ②．
由①②解得  m=-5 且n=0，或  m=

5

2

，n=

5 3

2

，即P（-5，0），或 P（ 

5

2

，

5 3

2

），
根據(jù)ρ=

m2+n2

 和 tanθ=

n

m

，求得P′的極坐標(biāo)（ρ，θ ）．
故P′點(diǎn)的極坐標(biāo)為(5，π)或(5，

π

3

)，
故答案為 (5，π)或(5，

π

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，兩條直線的夾角公式，兩點(diǎn)間的距離公式，列出①②是解題的關(guān)鍵．