Question

函數(shù)f（x）=2^x+2-3•4^x且x²+x≤0，則其最大值和最小值分別是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令2^x=t，則由x²+x≤0可得x≤-1，或 x≥0，可得0＜t≤

1

2

，或t≥1．再根據(jù) f（x）=-3(t-

2

3

)2+

4

3

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域，可得結(jié)論．

解答： 解：令2^x=t，則由x²+x≤0可得x≤-1，或 x≥0，故0＜t≤

1

2

，或t≥1，
再根據(jù) f（x）=2^x+2-3•4^x =g（t）=-3t²+4t=-3(t-

2

3

)2+

4

3

，
∴當(dāng)0＜t≤

1

2

 時(shí)，g（t）≤g（

1

2

）=-3×

1

4

+4×

1

2

=

5

4

，且g（t）＞g（0）=0，即g（t）∈（0，

5

4

]；
當(dāng)t≥1時(shí)，g（t）≤g（1）=1．
綜上可得，g（t）∈（0，

5

4

]∪（-∞，1]=（-∞，

5

4

]，
故答案為：

5

4

；不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．