Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+$\frac{a}{{2}^{x}+1}$在區(qū)間[-2015，2015]上的最大值為m，最小值為n，且m+n=a²-2，則a=-1或2．

Answer 1

分析 求得f（-x）+f（x）=a，f（x）的圖象關(guān)于點（0，$\frac{a}{2}$）對稱．則在區(qū)間[-2015，2015]上有m+n=a，結(jié)合條件，可得a的方程，即可解得a．

解答 解：由f（x）=x³+$\frac{a}{{2}^{x}+1}$，
f（-x）+f（x）=（-x）³+$\frac{a}{{2}^{-x}+1}$+x³+$\frac{a}{{2}^{x}+1}$
=（-x³+x³）+（$\frac{a}{{2}^{-x}+1}$+$\frac{a}{{2}^{x}+1}$）
=0+a（$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$）=a，
即有f（x）的圖象關(guān)于點（0，$\frac{a}{2}$）對稱．
則在區(qū)間[-2015，2015]上有m+n=a，
又m+n=a²-2，則a²-a-2=0，
解得a=-1或2．
故答案為：-1或2．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，主要考查對稱性的運用，考查運算能力，屬于中檔題．