Question

14．已知一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是45°，60°，它們所夾邊的長(zhǎng)是1，求最小邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{sin75°}$，從而解得a的值，利用大邊對(duì)大角的知識(shí)即可知a為三角形最小邊，從而得解．

解答 解：∵由題意，不妨設(shè)A=45°，B=60°，則c=1，C=180°-A-B=75°，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$可得$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{sin75°}$，
∵sin75°=sin[180°-（60°+45°）]=sin（60°+45°）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
∴解得：a=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{sin75°}$=$\sqrt{3}-1$，
∵A＜B＜C，故最小邊長(zhǎng)為a=$\sqrt{3}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，大邊對(duì)大角等知識(shí)的應(yīng)用，熟練掌握正弦定理是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．