【題目】如圖，在四棱錐中，平面，△為等邊三角形，，，，分別為棱，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值，若不存在，說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）證明和即可證明

（2）取的中點，連結(jié)，得，以為原點，以所在直線分別為軸如圖建系，求得兩平面的法向量，利用二面角向量公式求解

（3）假設(shè)棱上存在點，使得平面，且設(shè)，求得平面的法向量，利用得

（1）因為平面，平面，平面，所以，．

又因為△為等邊三角形，為的中點，所以．，

所以平面．

（2）取的中點，連結(jié)，則易知，，．因為△為等邊三角形，所以．

以為原點，以所在直線分別為軸如圖建系，

，，，

設(shè)平面的法向量，則：，即，

令，得平面的一個法向量，易知平面的一個法向量為

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．

（3）假設(shè)棱上存在點，使得平面，且設(shè)，則，

，則，

，要使得平面，則，得，

所以線段上存在點，使得平面，．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校組織了垃圾分類知識競賽活動．設(shè)置了四個箱子，分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱．每位參賽選手從所有卡片中隨機(jī)抽取張，按照自己的判斷，將每張卡片放入對應(yīng)的箱子中．按規(guī)則，每正確投放一張卡片得分，投放錯誤得分．比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分．從所有參賽選手中隨機(jī)抽取人，將他們的得分按照，，，，分組，繪成頻率分布直方圖如圖：

（1）分別求出所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)；

（2）從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機(jī)選取名選手，以表示這名選手中得分不超過分的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3） 如果某選手將抽到的20張卡片逐一隨機(jī)放入四個箱子，能否認(rèn)為該選手不會得到100分？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖，則下列陳述中不正確的是（　�。�

A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江�。�

B.與去年同期相比，2017年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長．

C.2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個

D.去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，四點，，，，恰有三點在橢圓上．

（1）求的方程；

（2）設(shè)、為橢圓在左、右焦點，是橢圓在第一象限上一點，滿足，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，其中，同時滿足：

①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)：②當(dāng)定義域為時，的值域為，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，區(qū)間稱為“保值函數(shù)”.

（1）求證：函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”；

（2）若函數(shù)（）是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，求的取值范圍；

（3）對（2）中函數(shù)，若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖像過點和．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若在上有解，求的最小值；

（3）記，，是否存在正數(shù)，使得對一切均成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】【2018屆安徽省合肥市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測】一家大型購物商場委托某機(jī)構(gòu)調(diào)查該商場的顧客使用移動支付的情況.調(diào)查人員從年齡在內(nèi)的顧客中，隨機(jī)抽取了180人，調(diào)查結(jié)果如表：

（1）為推廣移動支付，商場準(zhǔn)備對使用移動支付的顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該商場預(yù)計有12000人購物，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計，該商場當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備多少個環(huán)保購物袋？

（2）某機(jī)構(gòu)從被調(diào)查的使用移動支付的顧客中，按分層抽樣的方式抽取7人作跟蹤調(diào)查，并給其中2人贈送額外禮品，求獲得額外禮品的2人年齡都在內(nèi)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），它與曲線

C：（y－2）2－x2＝1交于A、B兩點．

（1）求|AB|的長；

（2）在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點P的極坐標(biāo)為，求點P到線段AB中點M的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的組合體中，三棱柱的側(cè)面是圓柱的軸截面，是圓柱底面圓周上不與重合的一個點．

（1）若圓柱的軸截面是正方形，當(dāng)點是弧的中點時，求異面直線與的所成角的大�。�

（2）當(dāng)點是弧的中點時，求四棱錐與圓柱的體積比．

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